日常生活中的代数系统

事故背景

高考结束后我去饭店吃饭，在饭局上有一个小孩，于是我给他出了一道数学题看看他能不能做出来，但是100以内加减法这种类型的数学题就有些无聊了，所以我们说说代数系统吧！

代数系统

我们先来看一下这道简单的题目，我用latex写出来就是：

$$7+11+11+11=$$

事件现场

首先我们看出，这是一道基本的计算题，很轻松的就可以算出结果等于40，但是如果你是一个经验丰富的老手，你会选择一个一个进行加和还是有一些简便的运算技巧？我相信你一定是后者吧，我们把11+11+11可以看作3乘11，因为是三个11相加，那么这也有个问题，这个加法式有什么性质能让它变成混合运算？

首先我们说一下代数系统的定义：

• 有一个非空的集合G和一个运算f
• 对于G中元素经过运算f之后所得的结果依然在G内

我们就说G和f构成了代数系统，一般写作<G,f>。

所以这道题我们可以用代数系统的定义变化一下：

写成我们熟悉的式子就是7+11+11+11=40

代数系统的元素

我们推广研究一下，既然这是一个代数系统，那么它一定会有一些性质：

• 单位元：存在一个元素e，使得e与任意a经过运算后结果仍为a
• 零元：存在唯一元素0，使得0与任意a经过运算后结果为0
• 逆元：对于元素a，存在一个元素$a^{-1}$使两者运算后得到单位元
• 幺元：单位元也叫幺元，只在一侧成立的分别叫左幺元、右幺元

对于初等代数系统我们简单的分析一下吧！

简单代数系统

我们列几个初等代数系统看看，前两个是加法系统，后两个是乘法系统：

序号	单位元	零元
1	0	无
2	0	无
3	1	0
4	1	0

运算法则

假设x，y，z是集合S的元素。定义在S上的封闭运算*

• 交换律：xy = yx

• 结合律：(xy)z = x(yz)

• 分配律：x(y+z) = xy + x*z（需要两种运算配合）

• 消去律：若xz = yz且z可消去，则x = y

当然也可以从集合的角度分析代数系统，比如某代数的子叫做子代数。

一些特殊的代数系统，比如群，它的定义是满足结合律并且有单位元和逆元，这样的代数系统就是群。离散数学的图论和拓扑学有些许相似，可以彼此联系。