一道圆锥曲线题目

问题

如图，首先看一下问题，已知的只有一个椭圆的方程和一个三角形面积

第一问

证明$x_1$²+$x_2$²与$y_1$²+$y_2$²均为定值

先设直线斜率k等于$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

接下来进行分类讨论:

当K=0时，$x_2$=$x_1$,$y_2$=-$y_1$

当K≠0时，|$x_1$|·|$y_1$|=$\frac{\sqrt[2]{6}}{2}$

联立椭圆方程，则有 $x_1$²+$x_2$²=3 | $y_1$²+$y_2$²=2

所以$x_1$²+$x_2$²与$y_1$²+$y_2$²均为定值

当然还有一种更为通俗的解法

根据要求的解，我们首先应该想到韦达定理，那么就可以设直线方程为

y=kx+b

由题意可知，b≠0，代入椭圆方程

(2+3k²)x²+6kmx=3(m²-2)=0

根据判别式⊿=36k²m²-12(2+3k²)(m²-2)＞0

有3k²+2>m²

$x_1$+$x_2$=-$\frac{6km}{2+3k²}$，$x_1$$x_2$=$\frac{3(m²-2)}{2+3k²}$

根据弦长公式，有PQ长度为$\sqrt[2]{1+k² }$·$\frac{2\sqrt[2]{6}\sqrt[2]{3k²+2-m²}}{2+3k²}$

根据点到直线距离公式，可以列出距离d=$\frac{|m|}{\sqrt[2]{1+k²}}$

那么面积$S_{OPQ}$=$\frac{1}{2}$|PQ|d

而面积又等于$\frac{\sqrt[2]{6}}{2}$

代入化简，有:

$x_1$²+$x_2$²=3 | $y_1$²+$y_2$²=2

所以结论成立

虽然第二种方法计算量大，但是一般不会出错，具体看能接受哪种方法了

第二问

∵4|OM|²+|PQ|²=($x_1$+$x_2$)²+($y_1$+$y_2$)²+($x_2$-$x_1$)²+($y_2$-$y_1$)²=10

∴2|OM|·|PQ|≤$\frac{4|OM|²+|PQ|²}{2}$=5

所以|OM|·|PQ|最大值为$\frac{5}{2}$

第三问

部分答案取自百度