完整的命题论

命题论

人类的语言是高级的，人脑的抽象功能为我们抽象出了各种思维模式，当然也包含推理判断能力，而命题就是将这种判断的逻辑取出研究的工具，让我们好好看看什么是命题吧！

命题和联结词

命题的定义：具有确切真假值的陈述句叫做命题。命题可以取值，叫做真值，也就是真假一般写作1(T)和0(F)

命题的联结词：只有五种，有一部分在高中的命题中叫他们与、或、非，符号分别是∧、∨、$\neg$，而在离散数学中按顺序它们分别被叫做合取联结词、析取联结词、否定联结词。同时命题还有蕴含联结词，他的符号是→，写法是$P→Q$，其中P叫做蕴含的前件，Q叫做蕴含的后件，读法是P蕴含于Q，真值情况是只有当P的解集是Q解集的子集时，蕴含真值为1。那么既然有蕴含就有等价，等价联结词是⇿，记作$P↔Q$，读作P等价于Q，只有当P和Q解集相等时，真值为1。

列举

以下是所有联结词：

联结词	符号	含义	读法	写法	逻辑含义
否定	$\neg$	真值结果否定	非P	$\neg P$	真假互换
合取	∧	真值取和运算	P合取Q	P∧Q	同真异假
析取	∨	真值取或运算	P析取Q	P∨Q	一真为真
蕴含	→	真值的包含运算	P蕴含Q	P→Q	大数含小数
等价	⇿	真值结果相等运算	P等价Q	P⇿Q	完全相等

以下是真值表：

P	Q	$\neg$P	P∧Q	P∨Q	P→Q	P⇿Q
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

---

命题分为几种，其中最常用的就是原子命题，原子命题是一类命题的总称，它是不可再分的极简命题，有明确的真值。而将原子命题通过联结词组合起来就有了复合命题。

例子

P：我是好人

Q：我是Minloha

那么P∧Q=我是好人并且我是Minloha，P∨Q=我是好人或者我是Minloha，$\neg P$=我不是好人。

符号化

下面是如何将命题符号化，举几个例子就可以了！

如果明天女朋友过生日，我就不能陪你出去买书

P：明天女朋友过生日

Q：我陪你去买书

那么符号化就是$P→\neg Q$

应用

命题可以解决一些逻辑门的问题，比如下面的电路图：

对于灯泡L，它可以选择在A开关闭合时亮起，也可以是B开关闭合时亮起，也可以是AB同时闭合，那么他的表达就是：$A∧B$

命题公式

命题公式是一个难点。我们先前定义过原子命题的含义，如果一个命题在没有赋予具体内容的前提下真假性不确定，我们叫这种命题为命题变量，反之被赋予内容的命题叫做常值命题，当一个原子命题是命题变量时，我们也叫他原子命题变元，将不同的命题变元、原子命题变元组合起来时，组成的复合命题也被叫做命题函数，或者按照离散数学所述，叫做命题公式或者真值函数。

命题公式的表达必须满足复合命题，比如$P→Q$就可以表示一个命题公式，但是$P∧Q→$就不是一个命题公式，因为蕴含联结词没有后件。

命题公式的表达也被叫做合式公式(WFF)，下面给出几点推论：

• 命题变元本身就是一个命题公式
• 如果命题P是公式，其否定也是公式
• 如果多个命题都是公式，则它们通过联结词连接的复合命题也是公式
• 通过有限步骤使用上述推论的才是命题公式

那么命题公式的使用可以使用真值表技术

在介绍真值表前我们需要了解，通过给命题变元赋值得到真值这个过程中，对命题变元的一组值叫做命题的一个解释，下面给出一个命题公式：
$$
(P∧Q)→(\neg P ∨Q)
$$
那么对于公式真值可以画出下表，其中蕴含一列表示最后的真值：

P	Q	P∧Q	→	$\neg P$	$\neg P$∨Q
0	0	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1
1	0	0	0	0	0
1	1	1	1	0	1

看了上面的真值表，不免让人联想，如果命题变元无论取何真值，命题公式的真值都为1，那这种命题公式叫什么呢？

命题公式分类

对于无论给定何种解释，命题公式的真值始终为1的叫做永真公式，反之叫做永假公式，而对于并不是所有解释都可以为真的命题公式，它是可满足的，解释一般用字母I表示。

简单的过度例子来一个，请判断下面的命题是否为永真公式：
$$
(P→Q)↔\neg P∨Q
$$
列出真值表，可以看出这个命题公式是永真的，下一部分我们会细致讲解这个公式：

P	→	Q	↔(最终真值)	$\neg P$∨Q
0	1	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1

命题的演算公式

因为这里的公式比较多，我也写不过来，有兴趣可以在评论区补充，我挑几个常用的列举以下

• 分配律
  • P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R)
  • P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R)
• 德摩根律
  • $\neg (P∨Q)=\neg P∧\neg Q$
  • $\neg (P∧Q)=\neg P∨\neg Q$
• 蕴含律
  • (P→Q)=$\neg P∨Q$
• 吸收律
  • P∧(P∨Q)=P
  • P∨(P∧Q)=P
• 常值运算
  • G∧1=G
  • G∨0=G
  • $\neg G∧G=0$
  • $\neg G∨G=0$

你可以选择使用真值表证明，也可以像集合一样使用Venn图表示。

下面介绍两个需要当作常识的定理。

• 设G是一个含有n个命题变元P的公式，假设它是永真或永假公式，那么它的演算结果也是永真或永假的
• 设$G_1$是G的一个子公式，H为任意一个公式，它的一个子公式为$H_1$，如果$G_1=H_1$那么G=H

那么运用上面所讲内容完成下面命题公式的化简吧！
$$
(\neg P∧(\neg Q∧R))∨((Q∧R)∨(P∧R))
$$

联结词的完备集

这里主要讲完备集的定义，对于联结词主要涉及基本的联结词，而完备集只是一个集合的特殊名称，它是一个由联结词组成的集合，它依然拥有集合的性质，比如互异性，确定性什么的，可以看第一章

符号扩充

除了之前说过的合取联结词、析取联结词、否定联结词、蕴含联结词、等价联结词之外，通过对电路分析得到了更多的计算符号，因为Markdown支持的符号有限，我就直接给个传送门，自己看看就好，我就不写了

传送门：https://blog.csdn.net/myRealization/article/details/120175992

联结词的完备集

如果一个命题公式，都有由一个联结词集合S表示出来的命题公式和它是等价的，那么S是完备的联结词集合。如果S刚好满足完备集的定义并且元素足够少，那么就说它是一个极小完备的联结词集合，比如最经典的蕴含式：
$$
P→Q=\lnot P∨Q
$$
可以看到左侧的命题公式可以由{→}的集合表示，而它的等价公式，由两种联结词组成，那么这两个联结词组成了一个极小完备的联结词集合，{$\lnot$，∨}，这种表示方法也被称作布尔代数系统

这里的知识点用于题目中给定，让你推到命题公式到仅由完备联结词集合表示。

项与范式

范式是一种公式的表达形式，准确的说它是一种约定俗成的表达格式，它可以完成很多事情，也在接下来的命题推理与证明中使用。

为了接下来的讲述，我们先下几个定义：

• 命题变元或者其否定我们叫他文字
• 有限个文字的析取叫做析取式，也被叫做子句
• 有限个文字的合取叫做合取式，也叫做短语
• 命题P和它的否定称为互补对

而范式的定义如下：

• 有限个短语的析取式叫做析取范式
• 有限个子句的合取式叫做合取范式

简单做一个题试试，求出公式的合取范式与析取范式：
$$
(P→\lnot H)∨(P↔R)
$$
答案是这样的：
$$
合取范式:(\lnot P∨\lnot Q∨\lnot P∨R)∧(\lnot P∨\lnot Q∨\lnot R∨P)
$$

$$
析取范式:\lnot P∨\lnot Q∨R
$$

在理解了范式之后就是关于主合取范式和主析取范式的解释，在开始时，我们先介绍一下极小项和极大项。

在一个含有n个命题变元P的短语或者子句中，如果每个命题变元与其否定不同时存在，并且两者中的一个出现仅出现一次，那么就说这个短语或者子句是关于含有n个命题变元P短语或子句的极小项或者极大项。

这个定义是修饰后的，为了理解我简单举一个例子，假设命题变元P和Q：
$$
极小项:P∧Q,P∧\lnot Q,\lnot P∧Q,\lnot P∧\lnot Q
$$

$$
极大项:P∨Q,P∨\lnot Q,\lnot P∨Q,\lnot P∨\lnot Q
$$

而如果在给定的析取范式中，如果每一个短语都是极小项，那么这个范式叫做主析取范式。同理，一个合取范式，如果每一个短语都是极大项，那么这个范式就叫主合取范式。

演绎推理与证明

演绎并不一定推出真结果，只要过程是真的就是有效的推理，对于所有给出的前提，如果前提Q和结论H能够满足下面的条件，才能说明这是永真公式。
$$
\vee _{i=1}Q_i→H
$$
推理符与蕴含符不同，写作⇨，常用的推理公式我列举一下：

• 选言三段论：$\lnot G,G∨H\Rightarrow H$$\lnot G,G\bar ∨H⇨ H$
• 肯定前件式：$G,G→H⇨ H$
• 否定后件式：$\lnot H,G→H⇨ \lnot G$
• 假言三段论：$G→H,H→I⇨G→I$

推理满足三个规则：

• (P)前提引用规则：在推理过程中，任何位置都可以引入前提
• (T)结果引用规则：推理结果可以引用多前提推出的结果
• (CP)如果前提集合和公式P能推导出S，那么集合就可以推出P→S

推理也可以用真值表，给出合理的解释判断结果是否恒真，是则一致