圆锥曲线必杀技:仿射几何

引入

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圆锥曲线大题一直都是以难著称，不少学子在第二问面前束手无策，而只有少部分人用上韦达定理，最终收获8分而去。但是，对于这类问题还有一种解法，那就是使用仿射几何解题，其实在函数章节我们就已经对仿射这一概念略微有所了解，也就是伸缩变换，比如把$y=\sin x$的图像横向压缩得到$y=\sin 2x$，就属于仿射的一种。仿射几何解题的精髓和伸缩变换类似，在伸缩过程中，把椭圆转化为圆处理，因为圆的性质我们熟得不能再熟：垂径定理、直径所对的圆周角、对称性，随便拎一条出来都比椭圆好使。变换完在圆里把关系找清楚，再原路缩回去，题也就解了。

仿射几何隶属高等数学，并非高中必修，所以千万不要把仿射几何的结论直接使用

在使用仿射变换之前需要记得几个性质

同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线，不会出现点被拉成线段这种事
结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上，共线的点还是共线
一般位置关系(相交、相切、相离)不变，原来相切的，变换完还是相切

另外还有两条平时用得最多、但容易被忽略的性质：平行线段的比例不变，也就是说原来是谁的中点，变换完还是谁的中点；图形的面积会按变换行列式的大小整体缩放，这条在算面积题的时候特别关键。斜率就不一定了，得按变换规则重新算，这也是做完变换后最容易翻车的地方。

那么怎么使用仿射变换解题呢？以一道十分有趣的题为例子(一轮练习册)。

抛物线的仿射变换

第一问

跳过，抛物线标准方程为$y^2=4x$，焦点是$F(1,0)$，准线是$x=-1$

第二问

[设点]：从A点开始，我们借用仿射变换的思想，将抛物线变成无参形式，即形如$y^2=x$的形式。可以设A点横坐标为t，但是这样做等于没设，因为纵坐标和横坐标的关系还没用上，所以转化一下，把$y=2t$代回抛物线得到$x=t^2$，将A点设为$(t^2,2t)$，这样一个参数就把两个坐标全带出来了。这里要注意t不能为零，不然A点跑到顶点上，后面的韦达定理和重心都没法算。

[设直线]：因为直线AB过点F，可以通过x=my+n直线式设出直线方程，将F点坐标代入，而m为斜率的倒数，这样设的好处是天生包含了斜率不存在的情况，不用单独讨论；n的几何意义是直线在x轴上的截距，代入$F(1,0)$后得n=1，再用A点坐标把m表示出来，就得到直线式$l_{AB}$的表达式。

$l_{AB}:x=\frac{t^2-1}{2t}y+1$

[联立]：根据一般的流程，接下来就要联立了，我们把$l_{AB}$代入抛物线标准式内得到二次方程

$y^2-\frac{2(t^2-1)}{t}y-4=0$

根据韦达定理，两根之积等于常数项，我们得到AB两点纵坐标关系，即$y_Ay_B=-4$，而A点纵坐标又是我们设出来的，所以可以表示出B点纵坐标，$y_B=-\frac{2}{t}$，然后代回抛物线方程$x=\frac{y^2}{4}$，得到t表达的B点坐标，$B(\frac{1}{t^2},-\frac{2}{t})$。

[用关系]：题目说G是三角形的重心，而G在x轴上，所以G点纵坐标为零。重心坐标公式就是三个顶点坐标的算术平均数，一点不含糊，于是$y_A+y_B+y_C=0$，得到C点纵坐标$y_C=-(y_A+y_B)=\frac{2}{t}-2t$，代回抛物线$x=\frac{y^2}{4}$求出横坐标，进而表达出C点坐标为$((\frac{1}{t}-t)^2,\frac{2}{t}-2t)$，然后根据这些数据关系，再套一遍重心公式，得到G点坐标。

$G=(\frac{2t^4-2t^2+2}{3t^2},0)$

[列关系]：利用三角形面积公式列出$S_1$和$S_2$然后求出比值表达式(巨型表达式警告)。

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|\frac{2t^4-2t^2+2}{3t^2}-1|·|2t|}{|t^2-1-\frac{2t^4-2t^2+2}{3t^2}|·|\frac{2}{t}-2t|}（省略了同类型约去过程）$

分子里的$|2t|$和分母里的$|\frac{2}{t}-2t|$可以顺手约掉一部分，剩下的两个绝对值里的式子都能因式分解，一个拆成$(2t^2-1)(t^2-2)$，另一个拆成$(t^2+1)(t^2-2)$，把公共的$(t^2-2)$约掉之后，式子就清爽了。然后动用所有脑细胞化简表达式，得到一个相对简洁的式子

$\frac{S_1}{S_2}=2-\frac{t^2-2}{t^4-1}$

[最简单的部分]：然后就是换元法，列出基本不等式了。

令$m=t^2-2>0$，面积比值的分母$t^4-1$可以拆成$(t^2-1)(t^2+1)=(m+1)(m+3)$，整个式子就可以表达为

$\frac{S_1}{S_2}=2-\frac{m}{m^2+4m+3}=2-\frac{1}{m+\frac{3}{m}+4}≥1+\frac{\sqrt{3}}{2}$

当且仅当$m=\frac{3}{m}$时取等号，也就是$m=\sqrt{3}$时取得最小值。

则$t^2=\sqrt{3}+2$，代入G点坐标化简（利用$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$可以口算），得到G点为$(2,0)$。

象征结束的分割线

这道题是2019浙江高考数学21题，运用了仿射变换的方法，将坐标全用一个字母设出，十分巧妙。整道题从头到尾没画一个图、没用一条几何定理，全靠设点、联立、化简硬算下来，草稿纸得备足。

椭圆的仿射变换

$已知椭圆C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1，过抛物线C_2:x^2=4y焦点F的直线交抛物线于M、N两点,\\ 连接NO与MO并与C_1交于A，B两点，连接AB，证明ΔOAB的面积S_{ΔOAB}为定值\\$

先列出变换规则，很自然地可以用矩阵表示。

$\begin{cases} x'=\frac{x}{2}\\ y'=y\\ \end{cases}$ $A=\left[\begin{matrix} \frac{1}{2}&&0\\ 0&&1 \end{matrix} \right]$

则对原坐标系进行仿射，即将XOY变为A(XOY)，x轴缩短为原来的一半，这样$C_1$变换为$x’^2+y’^2=1$的单位圆，抛物线也跟着变成$y’=x’^2$的样子。利用抛物线仿射知识(上一块)可以轻松证明变换后的$k_{NO}k_{MO}$的乘积为-1：在$y’=x’^2$上取过$(0,1)$的弦，设两端横坐标为$x_1,x_2$，联立后两根之积为-1，而抛物线上任意一点与原点连线的斜率恰好等于它的横坐标，所以两条连线的斜率乘积就是-1，得到变换后的$OA’\perp OB’$这一性质。而正巧，A,B均为圆上的点，半径r=1，直角三角形的两条直角边都是半径，可以得到$S_{ΔOA’B’}=\frac{1}{2}r^2=\frac{1}{2}$。再反向利用变换规则，x方向压缩为原来的一半，面积也正好缩了一半，所以变换前的$S_{ΔOAB}=2S_{ΔOA’B’}=1$，面积就是定值。

两道题过完，仿射变换的套路也就清楚了，不过最后要说一点：考试时不要写出这是仿射变换或者利用仿射的性质，判卷老师不认这套。可以设设坐标、表示表示点，把思路用常规方法重新包装一遍，结果是一样的。