圆锥曲线必杀技:仿射几何

引入

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圆锥曲线大题一直都是以难为名，不少学子在第二问面前束手无策，而只有少部分人尝试到韦达定理，最终收获8分而去。但是，对于这类问题还有一种解法，那就是使用仿射几何解题，其实在函数章节我们就以及对仿射这一概念略微有所了解，也就是伸缩变换。仿射几何解题的精髓和伸缩变化类似，在伸缩过程中，把椭圆转化为圆处理，这样可以找出新的特殊关系，从而解题

仿射几何隶属高等数学，并非高中必修，所以千万不要把仿射几何的结论直接使用

在使用仿射变换之前需要记得几个性质

同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线
结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上
一般位置关系(相交、相切、相离)不变

那么怎么使用仿射变换解题呢？以一道十分有趣的题为例子(一轮练习册)

抛物线的仿射变换

第一问

跳过，抛物线标准方程为$y^2$=4x，准线是x=-1

第二问

[设点]：从A点开始，我们借用仿射变换的思想，将抛物线变成无参形式，及形如$y^2$=x的形式，所以可以设A点横坐标为t，纵坐标为4$t^2$，但是这样做等于没设，所以转化一下，将A点设为($t^2$,2t)，这样就可以了

[设直线]：因为直线AB过点F，可以通过x=my+n直线式设出直线方程，将F点坐标带入，而m为斜率的倒数，所以得到直线式$l_{AB}$的表达式

$l_{AB}:x=\frac{t^2-1}{2t}y+1$

[联立]：根据一般的流程，接下来就要联立了，我们把$l_{AB}$带入抛物线标准式内得到二次方程

$y^2-\frac{2(t^2-1)}{t}y-4=0$

根据韦达定理，我们得到AB两点纵坐标关系，即$y_Ay_B$=-4，而A点纵坐标又是我们设出来的，所以可以表示出B点纵坐标，$y_B=-\frac{2}{t}$，然后带回抛物线方程，得到t表达的B点坐标，B($\frac{1}{t^2}$,-$\frac{2}{t}$)

[用关系]：G点为三角形的中心，所以三个定点纵坐标的算术平均数，就是G点纵坐标，也就是0，所以得到C点纵坐标($\frac{2}{t}$-2t)，待会抛物线，得到横坐标，进而表达出C点坐标为($(\frac{1}{t}-t)^2$,$\frac{2}{t}$-2t)，然后根据这些数据关系，得到G点坐标

$G=(\frac{2t^4-2t^2+2}{3t^2},0)$

[列关系]：利用三角形面积公式列出$S_1$和$S_2$然后求出比值表达式(巨型表达式警告)

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|\frac{2t^4-2t^2+2}{3t^2}-1|·|2t|}{|t^2-1-\frac{2t^4-2t^2+2}{3t^2}|·|\frac{2}{t}-2t|}（省略了同类型约去过程）$

然后动用所有脑细胞化简表达式，得到一个相对简洁的式子

$\frac{S_1}{S_2}=2-\frac{t^2-2}{t^4-1}$

[最简单的部分]：然后就是换元法，列出基本不等式了

令m=$t^2$-2>0，面积的比值就可以表达为

$\frac{S_1}{S_2}=2-\frac{m}{m^2+4m+3}=2-\frac{1}{m+\frac{3}{m}+4}≥1+\frac{\sqrt{3}}{2}$

当且仅当m=$\frac{3}{m}$时，也就是m=$\sqrt{3}$取得最小值

则$t^2$=$\sqrt{3}+2$，带入G点中，得到G点为(2,0)

象征结束的分割线

这道题是2019浙江高考数学21题，运用了仿射变换的方法，将坐标全用一个字母设出，十分巧妙

椭圆的仿射变化

$已知椭圆C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1，过抛物线C_2:x^2=4y焦点F的直线交抛物线与M、N两点,\\ 连接NO与MO并与C_1交与A，B两点，连接AB，证明ΔOAB的面积S_{ΔOAB}为定值\\$

先列出变换规则，自然的，可以利用矩阵解决

$\begin{cases} x'=\frac{x}{2}\\ y'=y\\ \end{cases}$ $A=\left[\begin{matrix} \frac{1}{2}&&0\\ 0&&1 \end{matrix} \right]$

则对原坐标系进行仿射，即将XOY变为A(XOY)，x轴缩短为原来的一半，这样C~1~变换为$x’^2$+$y’^2$=1的圆，利用抛物线仿射知识(上一块)可以轻松证明变换后的 $k_{NO}k_{MO}$ 的乘积为-1，得到变化后的 OA⊥OB 这一性质，而正巧，A,B均为圆上的点可以得到 $S_{ΔOA’B’}=\frac{1}{2}r^2=\frac{1}{2}$ ，再反向利用变化规则，得到变化前的 $S_{ΔOAB}$=2$S_{ΔOA’B’}$=1 ，所以面积为定值

在经历一番升华后，相信你对仿射变换一定有了一定的了解了吧，不过最后要说一点，就是考试时不要写出这是仿射变换或者利用仿射的性质，可以设设坐标，表示表示点，都可以。