线性方程组的系数增广矩阵解决盖斯定律

线性方程组和矩阵

线性方程组

在中学的学习阶段，我们会接触到直线方程与直线系，它们都可以用一串简单的方程表示。
$$
Ax+By+C=0
$$
而线性方程和直线方程十分类似，假设有一个含有n个变量的方程，它的形式是这样的。这是线性方程的通用格式
$$
\sum^n_{i=1}a_ix_i=b\
a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+….+a_nx_n=b\
$$
而线性方程组就是把多个线性方程列举出来，如果这些线性方程之间在n维空间上存在公共区域，那就说这些线性方程之间相容。当然公共区域可以是点，也可以直线，如果是一个多元函数的话，也可以是一个平面

矩阵

矩阵是线性代数主要研究对象，它具有以下特征。

• 具有一定范围的行与列
• 至少含有一个非零元素的行或列
• 表示n维空间时就会有n列

矩阵的写法如下：当然，如果我要表示矩阵第i行j列就可以用表示$A_{ij}$(矩阵和行列式不是一个东西哦~)
$$
A=\left[\begin{matrix}
3&2&1\
6&8&7\
9&-1&2
\end{matrix} \right]
$$

线性方程的系数矩阵

那么对于一个线性方程而言，它的关键元素就是每一个x前面的系数，也就是线性方程的特征，我们按照一定的次序把这些特征放入一个矩阵中，得到的矩阵就叫线性方程的系数矩阵或者特征矩阵。
$$
a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=M\
$$
$$
b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3=N\
$$

对于每一个x_1都有不同的系数,可以写出系数矩阵A

$$
A=\left[\begin{matrix}
a_1&a_2&a_3\
b_1&b_2&b_3\
\end{matrix} \right]
$$
如果包含等号的右半部分，就说A是线性方程组的增广矩阵
$$
A=\left[\begin{matrix}
a_1&a_2&a_3&M\
b_1&b_2&b_3&N\
\end{matrix} \right]
$$

盖斯定律

盖斯定律出现在选修——化学反应原理中，主要用于计算热化学方程式的放热。它有一个功能，多步化学反应放热等于总反应的放热，下面是一个盖斯定律应用的例子
$$
As_{(s)}+\frac{3}{2}H_{2(g)}+2O_{2(g)}=H_3AsO_{4(s)}→ΔH_1
$$
$$
H_{2(g)}+\frac{1}{2}O_{2(g)}=H_2O_{(l)}→ΔH_2
$$
$$
2As_{(s)}+\frac{5}{2}O_{2(g)} =As_2O_{5(s)}→ΔH_3
$$
$$
求证As_2O_{5(s)} +3H_2O_{(l)} = 2H_3AsO_{4(s)}→ΔH
$$
这是一道2017年的全国三卷题，它看起来很复杂，所以我就拿来了，现在就是用线性方程解决它的时候了

为了方便表示，我们可以先设几个字母，方便我们书写

• $As=x_1$
• $H_2=x_2$
• $O_2=x_3$
• $H_3AsO_4=x_4$
• $H_2O=x_5$
• $As_2O_5=x_6$

那么对于已知的条件可以写成下面的形式
$$
x_1+\frac{3}{2}x_2+2x_3=x_4\
x_2+\frac{1}{2}x_3=x_5\
2x_1+\frac{5}{2}x_3=x_6\
$$

转化为矩阵$[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6]$的格式

$$
x_1+\frac{3}{2}x_2+2x_3-x_4+0x_5+0x_6=ΔH_1\
$$
$$
0x_1+x_2+\frac{1}{2}x_3+0x_4-x_5+0x_6=ΔH_2\
$$
$$
2x_1+0x_2+\frac{5}{2}x_3+0x_4+0x_5-x_6=ΔH_3\
$$

对于要求证的方程式,我们也用线性方程的形式表示出来

$$
\left[\begin{matrix}
1&\frac{3}{2}&2&-1&0&0&ΔH_1\
0&1&\frac{1}{2}&0&-1&0&ΔH_2\
2&0&\frac{5}{2}&0&0&-1&ΔH_3\
\end{matrix} \right]
$$

代证方程:
$$
x_6+3x_5=2x_4\
$$
$$
0x_1+0x_2+0x_3-2x_4+3x_5+x_6=ΔH\
$$
用矩阵表示一下
$$
\left[\begin{matrix}
0&0&0&-2&3&1&ΔH
\end{matrix} \right]
$$

这就是我们的目标矩阵
$$
\left[\begin{matrix}
0&0&0&-2&3&1&ΔH
\end{matrix} \right]
$$
对与矩阵，我们进行行化简，找主元列，目标方程没有x1,x2,x3，而一三有，所以一式扩大二倍减去三式
$$
\left[\begin{matrix}
2&3&4&-2&0&0&2ΔH_1\
0&1&\frac{1}{2}&0&-1&0&ΔH_2\
2&0&\frac{5}{2}&0&0&-1&ΔH_3\
\end{matrix} \right]\
$$

$$
2ΔH_1-ΔH_3=\
\left[\begin{matrix}
0&3&\frac{3}{2}&-2&0&1&2ΔH_1-ΔH_3\
\end{matrix} \right]\
$$
继续化简，目标式没有x2,x3，而二式可以与算出来的$2ΔH_1-ΔH_3$化简一下，我们结合目标矩阵看$x_5$，从-1变成3，要乘以-3然后得到下面的形状
$$
\left[\begin{matrix}
0&-3&-\frac{3}{2}&0&3&0&-3ΔH_2\
\end{matrix} \right]\
$$

我们结合一下现有的方程就可以算出结果了

$$
\left[\begin{matrix}
0&3&\frac{3}{2}&-2&0&1&one\
\end{matrix} \right]\
$$
$$
\left[\begin{matrix}
0&-3&-\frac{3}{2}&0&3&0&two\
\end{matrix} \right]\
$$
$$
\left[\begin{matrix}
0&0&0&-2&3&1&three
\end{matrix} \right]
$$
我们这时惊讶的发现，第一步的结果和第二步的结果相加，正好是第三待证结论，所以
$$
ΔH=(2ΔH_1-ΔH_3)-3ΔH_2
$$
没错，结果出来了，对于一些非常复杂，或者结果带有奇奇怪怪系数的题目，这种办法很有效

最后补充

线性方程的行变换还可以转换为阶梯矩阵，如果感兴趣的话，也可以尝试使用向量空间与线性方程组做乘法，看看会不会出现n维公共部分，一样可以求解。