基础拓扑学的入门

简介

本期博客把泛函和拓扑放在一起讲，这两块内容本身就挨着，放在一起学理解得会快很多。先把几个名词摆出来：

泛函：函数的函数，即对函数进行特殊的映射

泛函分析听着吓人，入手点其实很小：把函数当成一个个“点”，研究由函数组成的空间，以及作用在这些点上的映射。平时算最值，自变量是一个数；到了变分问题里，自变量是一整条函数曲线，问的是哪条曲线能让某个量最小，这种以函数为自变量的映射就是泛函。

在很早很早之前，我在高中时期已经短暂地学过一段泛函分析，只不过当时并不知道精髓，感兴趣可以考古一下：https://blog.minloha.cn/posts/002546cb19867b2022042515.html

拓扑与泛函

对于函数的认知，我们从高中就已经建立起来了，映射的概念也跟着一起进来了。平时计算里用得最多的平面直角坐标系，其实就是建立在二维欧氏空间上的。那么问题来了：怎么定义一个空间？空间有什么特征，能让我们把它和其他空间区分开、描述清楚？

比如欧氏空间，对于n维的欧氏空间来讲可以有向量$a$和$b$使得：

$a·b=|a||b|cos<a,b>$

这就是内积。内积算出来的是数，有了它才能谈长度、夹角、垂直和投影这些东西。欧氏空间也是一个向量空间（可以完成向量封闭运算的空间），向量相加、数乘都在空间内部完成，结果不会跑到外面去，所以欧氏空间就是一种带有内积的空间，我们平时用的就是这种标准内积。严格一点说，欧氏空间里的内积结果都是实数，所以也叫有限维实内积空间。

自此我们可以笼统地定义空间：一个集合，只要它上面定义了独特的算符（计算方法），就可以看作一个空间。这个说法很糙，但入门阶段够用：集合提供元素的“范围”，算符提供元素之间的“关系”，两边配套之后，集合就有了结构，也才有了被描述的可能。

我们可以把空间的范围放大到无穷，把实数作为空间的载体，就得到实空间$R^n$，实空间可以说是泛函的主要研究载体。泛函分析大多就是在这样的无穷维实空间里干活：这里的“点”是函数，“距离”衡量两个函数的差别，“收敛”描述一串函数慢慢贴向某个函数。

在开始下一步之前，我们需要补充一下集合的结构，我们知道集合的元素可以是任意内容，如果一个集合的元素也都是一些集合，我们就叫它集族。

1	`A={{1,2,3}, {2,3,4}, {1}, {2}}`

上面这个A里装的四个东西都是集合，所以A就是一个集族。顺便提一句，一个集合X的全部子集组成的集族叫幂集，记作$2^X$；X上的拓扑就是从幂集里挑出来的一部分子集，挑的规矩就是下面三条。

拓扑空间

拓扑里最要紧的东西是拓扑空间，它很特别：集合本身长什么样不重要，重要的是我们规定哪些子集算“开”的。定义如下：

对于一个全集X，把由它的一些子集组成的集族记为$\mathcal{F}$，当满足：

X和$\varnothing$都是$\mathcal{F}$中的元素
任意多个$\mathcal{F}$中的元素并起来，结果还在$\mathcal{F}$中（无限并封闭）
有限个$\mathcal{F}$中的元素交起来，结果还在$\mathcal{F}$中（有限交封闭）

满足这三条，就说$\mathcal{F}$是X上的一个拓扑，$\mathcal{F}$里的任何一个元素都叫做开集。如果一个拓扑把X所有的子集都收了进来，这个拓扑可以叫离散拓扑，这时候每个子集都是开集；如果一个拓扑只有空集和全集这两个元素，则叫做平凡拓扑。同一个集合上能定义不同的拓扑，讨论空间之前得先说清楚用的是哪一个。最容易上手的例子是实数轴上的标准拓扑：开区间以及开区间拼起来的东西，就是全体开集。

开集：从数轴上理解的话，开集就是开区间和开区间拼出来的区域，拓扑的每个元素都对应集合中的一块不带边界的区域。开集有这样的性质：开集与开集的交集还是开集，但这里只管有限个，无限个开集交起来就不一定了。比如把$(-1/n, 1/n)$一个个交下去，最后只剩下单点集{0}，而单点集在实数轴上不是开集。

距离空间（度量空间）

光有开集还不够直观，我们更习惯用“距离”来判断远近，于是有了距离空间（也叫度量空间）。要成为距离空间，得先定义一种属于它的运算，也就是距离：

$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$

但距离不是随便乱定的，必须守住三条约束：

对称性：d(x,y)=d(y,x)，来回走一样远
非负性：d(x,y)≥0，而且只有当x=y时距离才是0
三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)，绕个路不会更近

如果此空间放在$R^n$中就得到通用的距离计算公式：

$d(x,y)=(\sum^n_{k=1}(\zeta_k-\eta_k)^2)^\frac{1}{2}$

其中的$\zeta$和$\eta$为坐标分量，这种计算距离的方式也叫欧氏度量。同一批点换一种算法就可能得到另一个空间，比如把两点的各坐标差取绝对值再求和，得到的就是出租车度量，沿着直角转弯走的那种，它同样满足上面三条。

如果距离计算如下：

当x=y时，d(x, y) = 0
当x≠y时，d(x,y) = 1

这种相同为0、不同为1的度量方式也叫做离散度量。它看着极端，但也说明距离的约束其实很宽松，只要三条守得住，怎么定都行。有了距离，在距离空间里就可以定义极限：

设X是一个距离空间，$\{x_n\}\subset X, x_0\in X$，当$n \to \infty$时，$d(x_n,x_0) \to 0$，则$\{x_n\}$以$x_0$为极限，也就是$\{x_n\}$收敛于$x_0$。

在高等数学里我们学习了邻域，接下来我们把邻域从二维空间升级一下：

设距离空间X，定义集合：

$B(x_0,r)=\{x \in X | d(x,x_0)<r\}$

这个集合是以$x_0$为中心，以r为半径的球，且不包含球面，也叫开球。

$\bar B(x_0,r)=\{x \in X | d(x,x_0) \le r\}$

而这个集合是以$x_0$为中心，以r为半径的球，且包含球面，也叫闭球。

$S(x_0,r)=\{x \in X | d(x,x_0) = r\}$

这个集合在球的表面，也叫球面。三条定义只差在等号上：画到实数轴上就是开区间、闭区间和两个端点，以前高数里说的邻域，指的就是开球。

我们发现这里的开球就是度量空间拓扑中的开集，所有开球拼起来就可以生成度量空间的拓扑。

那么如果在一个度量空间的子集G中存在一个点，以它为中心能找到一个完全包含在G内的开球，就说这个点是G的一个内点，写作数学式如下：

设X是一个距离空间，$G\subset X$，对于$x_0\in G$，存在开球$B(x_0, r) \subset G$，就说$x_0$是G的内点。比如实数轴上取G=(0,1)，0.5就是内点；1不是，因为不管半径缩得多小，以1为中心的球都会探出G的范围。

连续映射的定义我们学过很多，过于严谨的这里不说了（太长了），简单地理解就是：空间里充分接近的两个点，映射之后的像也充分接近，这样的映射就叫连续映射。拓扑里还有一个等价的说法：任何开集的原像都是开集，这个说法不依赖距离，所以在没有距离可用的普通拓扑空间里，就拿它当连续的定义。连续映射会保持连通性，即连通空间在连续映射下的像仍然连通。

接下来介绍几个非常重要的性质：

在拓扑空间里，拓扑$\mathcal{F}$中的每个元素都是开集。把开集在全集X里取补集，得到的就是闭集，所以开集和闭集是一对互补的说法，开集的补集必是闭集，闭集的补集也必是开集，最简单的参照还是开球和闭球。

闭集包含如下性质：

空集和全集都是闭集（它们同时也是开集，一个集合既开又闭在这里不算稀奇）
任意多个闭集的交还是闭集
有限个闭集的并还是闭集

如果一个点能被拓扑$\mathcal{F}$里的某个开集包住，我们叫这个点为拓扑空间的内点，这个开集也叫内点的一个邻域。邻域不唯一，包着同一个点的开集一般有好多个，把它们收在一起就组成邻域系。

如果一个点的任意开球与一个集合的交集都不为空，那么这个点叫做这个集合的接触点，所有接触点组成了该集合的闭包。接触点不一定长在集合里面，它可以就贴在集合边上，比如A=(0,1)，0和1都是A的接触点。

现在假设一个点x，如果集合A去掉点x之后，与x的任意一个邻域的交集都不为空，就说这个点x是集合A的聚点，也可以说：

设A是一个拓扑空间X的子集，$x \in X$，如果x的每个邻域与A-{x}的交集都不为空，就说x是A的聚点。而A的所有聚点组成的集合叫做A的导集，也写作$A’$，导集与A本身的并集叫做闭包，写作$\bar A$。把几个定义摆到一起看，A并上它的导集，正好凑出全部接触点，所以闭包从哪个角度定义都对得上。

这里涉及了很多定义，用球解释就是：

内点在球内，包着它的球叫内点的邻域
接触点在球面或者球内，用来判断的球取开球
聚点在球面或者球内，把这堆聚点收拢起来就是一个闭球，这个集合叫导集。导集再并上原来的开球，得到的就是闭包，相当于给开球补上了球面

如果一个集合的闭包等于全集，就说这个集合在全集里是稠密的，这个集合也叫全集的稠密子集。典型例子是有理数集：随便挑多小的一段区间，里面都能翻出有理数，把有理数全体取闭包，铺满的就是整条实数轴。

稠密说的是集合铺得开，下面两个词说的是空间收得住。如果度量空间内任意一个数列都有收敛的子列，就说这个度量空间是列紧的；如果空间内任意一个柯西数列都收敛，这个度量空间就是完备的。柯西数列的特点是项与项之间越挨越近，但它未必有东西可以收敛。比如把有理数全体$\mathbb{Q}$单独拿出来，还是用$|x-y|$当距离，一串逼近$\sqrt{2}$的有理数在里面是柯西的，可$\sqrt{2}$根本不在$\mathbb{Q}$里，所以$\mathbb{Q}$不完备；同样的数列挪到实数轴上就能收敛，实数集是完备的。

我们完善一下度量空间的定理。在数学分析中我们学过区间套，度量空间里也有对应的闭球套：一串闭球一个套一个，使得：

$\bar B_1 \supset \bar B_2 \supset \bar B_3 \supset ...$

如此包含下去，只要球的半径越来越小、趋于零，最终这个闭球套的公共部分就是一个点，而且这个点是唯一确定的。半径的条件不能省，比如取$\bar B(0, 1+1/n)$这样一串闭球，它们也在一个个嵌套，但交出来是[-1,1]，并不是单点。

不动点定理

我们对一个点进行变换，如果变换之后它还在原地不动，满足下面的方程，就说这个点是不动点

$Tx=x$

比如T(x)=x/2把实数轴上的点全都往原点压，只有0满足x/2=x，这个0就是不动点。不动点蕴含了很多信息，其中最重要的就是巴拿赫不动点定理（也叫压缩映射原理）：

如果X是一个完备的距离空间，T是一个压缩映射：

$d(Tx,Ty)\le \theta d(x,y)$

当$0<\theta<1$时存在唯一的不动点$\bar x$：

$T\bar x = \bar x$

这个证明很简单，就是在完备空间的基础上进行了证明，当$0<\theta<1$时，列写三角不等式并替换上述公式，就可以使其变成柯西数列。具体走一遍：随便取一点$x_0$，反复用T迭代，得到$x_1=Tx_0, x_2=Tx_1, …$，相邻两项的距离一次比一次缩水，$d(x_{n+1}, x_n)\le\theta^n d(x_1,x_0)$；隔得远的两项用三角不等式拆成一段一段加起来，是个几何级数，可以估出$d(x_n,x_m)\le\frac{\theta^n}{1-\theta}d(x_1,x_0)$，右边当n→∞时趋于0，所以这串点是柯西数列。完备意味着收敛并存在极限：

$x\to \bar x$ $\lim_{n \to \infty}Tx_n=T\lim_{n\to \infty}x_n=T\bar x$

左边是$\bar x$，右边是$T\bar x$，两边一合，不动点就存在了。唯一性顺手也能证：假设有两个不动点$\bar x$和$\bar y$，代入压缩条件得到$d(\bar x,\bar y)=d(T\bar x,T\bar y)\le\theta d(\bar x,\bar y)$，因为$\theta<1$，只能有$d(\bar x,\bar y)=0$，两个点重合。根据压缩映射的性质即可证明这个不动点是存在的，不过具体数值大多算不出精确表达式，实际用的时候就是拿上面的迭代去逼近；如果T恰好是线性的，也可以把它转化为线性方程组求出特解或通解。

子空间拓扑

我们把拓扑空间X取出一个子集A，在它上面构成一个新的拓扑，这个拓扑也叫做子空间拓扑。具体做法是拿X里每个开集和A求交集，这些交集全体就是A上的开集。比如实数轴的标准拓扑限制到[0,1]上，[0,0.5)也算开集，因为它是(-0.5,0.5)和[0,1]交出来的。

到目前为止，基础的知识已经完全讲完。

同胚映射

同胚不得不提及映射，如果一个映射$f: X\to Y$连续并且映射可逆，$f^{-1}: Y \to X$存在并且也连续，则f是拓扑空间的一个同胚映射。同胚可以想成橡皮泥式的变换：拉长、扭曲都随便，但不许撕开，也不许把两个点粘成一个点。同胚是一个等价关系：自己和自己同胚，f是同胚那f的逆也是，两个同胚接起来还是同胚。同胚映射会把开集映成开集，这一点由连续和可逆保证。

从拓扑的角度看，同胚的两个空间就是同一个空间。比如开区间(-1,1)和整条实数轴同胚，用$f(x)=\frac{x}{1-|x|}$就能把(-1,1)撑满$\mathbb{R}$。而圆周和线段就不同胚：圆周上随便挖掉一个点，剩下的还是一条连通的长条；线段挖掉中间一个点，就断成两截了。同胚保持连通性，所以这两个对不上。