基础拓扑学的入门

简介

本期博客将结合泛函与拓扑数学进行解释，很多内容互相促进的学习就可以理解的非常迅速，下面是一些学科定义：

• 泛函：函数的函数，即对函数进行特殊的映射

在很早很早之前，我在高中时期已经短暂的学过一段泛函分析，只不过当时并不知道精髓，感兴趣可以考古一下：https://blog.minloha.cn/posts/002546cb19867b2022042515.html

拓扑与泛函

对于函数的认知，我们从高中就已经建立起了，映射也随之而来。在我们日常计算中比较常用的比如平面直角坐标系就是建立在3维的欧氏空间上的，那我们如何定义一个空间或者说空间有什么特征让我们可以区分并描述呢？

比如欧氏空间，对于n维的欧氏空间来讲可以有向量$a$和$b$使得：

$$a·b=|a||b|cos<a,b>$$

即内积，而对于欧氏空间他也是一个向量空间（可以完成向量封闭运算的空间），所以欧氏空间就是一种带有内积的空间，并且内积只能如此计算。当然更严谨的讲，在欧氏空间内所有的内积都是实数，也叫有限维实内积空间

自此我们可以笼统的定义空间：当且仅当在空间内，具有独特算符（计算方法）的数学模型。

我们可以把空间的范围放大到无穷，我们将实数作为我们空间的载体即：实空间$R^n$，实空间可以说是泛函的主要研究载体。

---

在开始下一步之前，我们需要补充一下我们集合的结构，我们知道集合的元素可以任意内容，对于集合的元素是集合的集合，我们叫他集族

A={{1,2,3}, {2,3,4}, {1}, {2}}

拓扑空间

对于拓扑而言，有一类极为独特的空间叫做拓扑空间，他的定义如下：

对于一个全集X，把他所有子集组成的集族叫$\mathcal{F}$，当满足：

• X, $\varnothing$是$\mathcal{F}$中的元素
• 任意个$\mathcal{F}$中的子元素，并集之后还在$\mathcal{F}$中（无限并封闭）
• 有限个$\mathcal{F}$中的元素，交集之后还在$\mathcal{F}$中（有限交封闭）

则叫$\mathcal{F}$是X的拓扑空间，简记$\mathcal{F}$，而其中的任何一个元素都叫做开集。如果一个拓扑包含了X所有的子集，这个拓扑也可以叫离散拓扑，如果一个拓扑只有空集和全集，则这个拓扑叫做平凡拓扑

开集：从二维线段理解的话，开集就是开区间，拓扑的每个元素都是集合的开放部分。开集具有传递性即：开集与开集的交集还是开集

距离空间（度量空间）：

对于距离空间，我们需要定义一种属于它的运算，也就是三角距离：

$$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$$

其中的距离计算有极强的约束：

• 对称性：d(x,y)=d(y,x)
• 非负性：d(x,y)≥0
• 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)

如果此空间放在$R^n$中就得到通用的距离计算公式：

$$d(x,y)=(\sum^n_{k=1}(\zeta_k-\eta_k)^2)^\frac{1}{2}$$

其中的$\zeta$和$\eta$为坐标分量，这种计算距离的方式也叫欧氏度量，如果距离计算如下：

• d(x, y) = 0 s.t. x=y
• d(x,y) = 1 x.t. x≠y

这种变量相同为0，不同为1的度量方式也叫做离散度量，因此在距离空间可以定义极限：

设X是一个距离空间，$\{x_n\}\subset X, x_0\in X$，当$n \to \infty$时，$d(x_n,x_0) \to 0$，则$\{x_n\}$是以$x_0$为极限，也就是$\{x_n\}$收敛于$x_0$

在高等数学里我们学习了邻域，接下来我们把邻域从二维空间升级一下：

设距离空间X，定义集合：

$$B(x_0,r)=\{x \in X | d(x,x_0)<r\}$$

这个集合是以$x_0$为中心，以r为半径的球，且是开区间，也叫开球

$$\bar B(x_0,r)=\{x \in X | d(x,x_0) \le r\}$$

而这个集合是以$x_0$为中心，以r为半径的球，且是闭区间，也叫闭球

$$S(x_0,r)=\{x \in X | d(x,x_0) = r\}$$

这个集合是在球的表面，这个集合也叫球面

我们发现这里面的开球是度量空间的一个拓扑，他是一个开集。

那么如果在一个度量空间内存在一个点，他的开球与度量空间的交集永不为空，就说这个点是空间的一个内点，写作数学式如下：

设X是一个距离空间，$G\subset X$，对于$x_0\in G$，存在开球$B(x_0, r) \subset G$，就说$x_0$是G的内点

连续映射的定义我们学过很多，过于严谨的这里不说了（太长了），简单的理解就是对变量进行映射后放入函数，再对函数进行映射，就叫连续映射。连续映射并不会改变空间的性质即连续的空间还连续

---

接下来介绍几个非常重要的性质：

对于拓扑空间而言，他的每个元素都是一个开集，如果开集在拓扑空间取差集，那我们就得到了闭集。简单的理解就是开球和闭球。

闭集包含如下性质：

• 空集和全集都是闭集
• 多个闭集的交是闭集，也记作$F_\sigma$
• 有限个闭集的并是闭集，也记作$G_\delta$

如果一个元素输入一个开集，并且这个开集在拓扑空间内，我们叫这个元素为拓扑空间的内点，这个开集也叫内点的邻域，当然此开集不唯一，这些不唯一的开集组成邻域系

如果一个点的开球与一个开集的交集永不空，那么这个点叫做这个开集的接触点，也可以理解为这个开集的边界点

现在假设一个点x，如果拓扑空间A去除了这个点x单独组成的开集{x}后，与一个开集进行交运算并且结果不为空，就说这个点x是这个开集的聚点，也可以说：

设A是一个拓扑空间X的子集，$x \in X$，如果x的每个邻域与A-{x}的交集都不为空，就说x是A的聚点。而A的所有聚点组成的集合叫做A的导集，也写作$A’$，导集与全集的并集叫做闭包，写作$\bar A$

这里涉及了很多定义，用球解释就是：

• 内点在球内，球叫内点的邻域
• 接触点在球面或者球内，球是开球
• 聚点在球面，球是开球，所有的聚点组成了开球的球面，这个球面叫导集。导集与开球组成了闭包（把一个开球补齐了球面）

如果全集是闭包的话，就说明这个全集是稠密的，他的拓扑空间叫稠密子集。

单纯的稠密还不够，我们在度量空间内取一个数列，如果数列收敛就说这个度量空间是列紧的。如果这个数列是柯西数列，这个度量空间就是完备的。

我们完善一下度量空间的定理，在数学分析中我们学过区间套，那么在度量空间内就会存在一个闭球套，使得：

$$\bar B_1 \supset \bar B_2 \supset B_3 \supset ...$$

如此包含下去，在最终这个闭球会收敛到一个点$x_n$，这个点是唯一确定的。

不动点定理

我们对一个点进行变换，如果满足下面的方程，就说这个点是不动点

$$Tx=x$$

不动点蕴含了很多信息，其中最重要的就是：

如果X是一个完备的距离空间，有连续映射T：

$$d(Tx,Ty)\le \theta d(x,y)$$

当$0<\theta<1$时存在不动点$\bar x$：

$$T\bar x = \bar x$$

这个证明很简单，就是在完备空间的基础上进行了证明，当$0<\theta<1$时，列写三角不等式并替换上述公式，就可以使其变成柯西数列。完备意味着收敛并存在极限：

$$x\to \bar x$$ $$\lim_{n \to \infty}Tx_n=T\lim_{n\to \infty}x_n=T\bar x$$

根据连续映射即可求出这个不动点是存在的，不过具体数值是无法准确计算的，可以打开线性方程组求出特解或通解。

---

我们把拓扑空间取出一部分元素，组成一个新的拓扑空间，这个拓扑空间也叫做子空间拓扑

截止到目前为止，基础的知识已经完全讲完。

同胚映射

同胚不得不提及映射，如果一个映射$f: x\to y$连续并且映射可逆，如果$f^{-1}: y \to x$存在并且也连续，则f是拓扑空间的一个同胚映射，同胚是一个等价关系。同胚变换后的每个元素都是开集。